Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Zusammenstellung der nötigen Grundlagen aus der klassischen Algebra, der Theorie der algebraischen Funktionen und der algebraischen Zahlentheorie. Der folgende erste Abschnitt behandelt die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowohl für die Weierstraßschen als auch für die Jacobischen elliptischen Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit widmet der Verfasser den speziellen Teilungsgleichungen, denen die Teilwerke der Weierstraßschen ℘-Funktion genügen. Der zweite Abschnitt nimmt die Hälfte des Bandes in Anspruch; er ist einer detaillierten Ausarbeitung der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen gewidmet. Hierbei handelt es sich um eine facettenreiche Theorie, die im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts im Rahmen der Herausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen durch Klein ihre hier niedergelegte Form gewonnen hat. Als Hilfsmittel für die Transformationstheorie erweist sich das Frickesche „Klassenpolygon“, das die Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der binären quadratischen Formen offen legt. Zahlreiche Beispiele erläutern die theoretischen Betrachtungen.

Table of Contents:
Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra und der Zahlentheorie. Endliche Gruppen.- Algebraische Gleichungen.- Algebraische Funktionen.- Algebraische Zahlen.- Quadratische Körper und Formen negativer Diskriminante. Erster Abschnitt. Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen.- Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen.- Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen.- Die Teilwerte der elliptischen Funktionen. Zweiter Abschnitt. Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. Die Transformation nten Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen.- Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art nter Stufe.- Die speziellen Transformationsgleichungen der speziellen Teilungsgleichungen.- Aufstellung der Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n.- Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen und die drei Resolventen der Grade 5, 7 und 11.- Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen.-

About the Author :
Prof. Dr. Karl Emanuel Robert Fricke . Geb. 24. September 1861 in Helmstedt; † 18. Juli 1930 in Bad Harzburg war ein Mathematiker, der sich in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein mit Funktionentheorie beschäftigte.