Analysis für Dummies: (Für Dummies)

Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.

Table of Contents:
Über den Autor 11 Einführung 23 Über dieses Buch 23 Konventionen in diesem Buch 24 Wie Sie dieses Buch einsetzen 24 Törichte Annahmen über den Leser 25 Wie dieses Buch aufgebaut ist 25 Teil I: Analysis – ein Überblick 25 Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 25 Teil III: Grenzwerte 26 Teil IV: Differenziation 26 Teil V: Integration und unendliche Reihen 26 Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 27 Wie es weitergeht 27 Teil I: Analysis – ein Überblick 29 Kapitel 1 Was ist Analysis? 31 Was Analysis nicht ist 31 Was also ist Analysis? 32 Beispiele für die Analysis aus der Praxis 34 Kapitel 2 Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 37 Differenziation – Definition 37 Die Ableitung ist eine Steigung 37 Die Ableitung ist eine Änderungsrate 39 Und jetzt zur Integration 40 Unendliche Reihen 41 Divergierende Reihen 42 Konvergierende Reihen 42 Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 45 Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 45 Was passiert beim Vergrößern? 46 Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 49 Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 49 Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 49 Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 51 Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 53 Was Sie über Brüche wissen sollten 53 Ein paar schnelle Regeln 54 Brüche multiplizieren 54 Brüche dividieren 54 Brüche addieren 55 Brüche subtrahieren 58 Brüche kürzen 58 Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 60 Potenzen machen stark 61 Zu den Wurzeln der Wurzeln 62 Wurzeln, überall Wurzeln! 62 Wurzeln vereinfachen 63 Logarithmen … wirklich keine Hexerei 64 Faktorisieren – wer braucht denn so was? 65 Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 65 Die Mustersuche 66 Faktorisierung quadratischer Polynome 67 Quadratische Gleichungen lösen 67 Methode 1: Faktorisieren 67 Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 69 Methode 3: Quadratische Ergänzung 70 Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 73 Was ist eine Funktion? 73 Die definierende Eigenschaft einer Funktion 74 Unabhängige und abhängige Variablen 76 Funktionsnotation 77 Verkettete Funktionen 77 Wie sieht eine Funktion aus? 79 Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 80 Geradeheraus – Geraden in der Ebene 80 Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 84 Einige ungerade Funktionen 85 Exponentialfunktionen 85 Logarithmusfunktionen 86 Inverse Funktionen 87 Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 88 Horizontale Transformationen 89 Vertikale Transformationen 90 Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 93 Trigonometrie im Crashkurs 93 Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 95 Das 45∘-45∘-90∘-Dreieck 95 Das 30∘-60∘-90∘-Dreieck 96 Im Einheitskreis gefangen! 97 Winkel im Einheitskreis 98 Winkel im Bogenmaß messen 98 Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 99 Und jetzt das Ganze zusammen 100 Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 102 Inverse trigonometrische Funktionen 104 Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 107 Teil III: Grenzwerte 109 Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 111 Bis an die Grenzen – NEIN 111 Drei Funktionen erklären den Grenzwert 112 Einseitige Betrachtungen 115 Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 116 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 117 Grenzwerte im Unendlichen – haben Sie gute Schuhe an? 119 Die Momentangeschwindigkeit berechnen – mithilfe von Grenzwerten 119 Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 122 Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 123 Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 124 Drei Bedingungen für die Stetigkeit 126 Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 126 Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 129 Einfache Grenzwerte 129 Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 129 Grenzwerte geometrisch bestimmen 130 Einsetzen und Einkochen 131 Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 132 Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 132 Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 134 Guten Appetit – mit einem Grenzwertsandwich 137 Grenzwerte bei unendlich auswerten 141 Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 143 Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 144 Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 145 Teil IV: Differenziation 147 Kapitel 9 Differenziation – Orientierung 149 Differenziation: Such die Steigung! 150 Die Steigung einer Geraden 153 Die Ableitung einer Geraden 155 Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 155 Analysis auf dem Spielplatz 155 Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 157 Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 158 Die Ableitung einer Kurve 158 Der Differenzenquotient 160 Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 167 Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 168 Kapitel 10 Regeln für die Differenziation –was sein muss, muss sein! 171 Grundlegende Regeln der Differenziation 172 Die Konstantenregel 172 Die Potenzregel 172 Die Faktorregel 174 Die Summenregel – die kennen Sie schon 175 Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 175 Trigonometrische Funktionen differenzieren 176 Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 176 Differenziationsregeln für Profis – Wir sind die Champions! 178 Die Produktregel 178 Die Quotientenregel 179 Die Kettenregel 181 Implizite Differenziation 186 Logarithmische Differenziation – der Rhythmus macht’s 188 Inverse Funktionen differenzieren 189 Ableitungen höherer Ordnung – die Leiter hinabsteigen 191 Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 193 Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 193 Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 194 Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 195 Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 196 Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 196 Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 196 Von nun an geht’s bergab! 196 Ihr Reisetagebuch 197 Extremwerte finden 198 Die kritischen Stellen herausleiern 198 Der Test der ersten Ableitung 200 Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 202 Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 205 Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 208 Krümmung und Wendepunkte bestimmen 210 Die Graphen von Ableitungen – bis zum Abwinken 212 Der Mittelwertsatz – es bleibt einem nichts erspart! 215 Die Regel von L’Hôpital: Analysis für den Notfall 218 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 219 Drei weitere nicht akzeptable Formen 220 Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 223 Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 223 Das maximale Volumen einer Schachtel 224 Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen – Cowboys unter sich! 226 Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 229 Geschwindigkeit und Tempo 231 Maximale und minimale Höhe 232 Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 233 Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 235 Und jetzt alles zusammen 236 Voneinander abhängige Änderungsraten 237 Einen Ballon aufblasen 237 Einen Trog auffüllen 240 Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 242 Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 245 Die Aufgabenstellung mit der Tangente 245 Und jetzt zur Normale 247 Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 250 Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 253 Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 253 Teil V: Integration und unendliche Reihen 261 Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung – ein Einstieg 263 Integration: Einfach eine seltsame Addition 263 Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 266 Der Umgang mit negativen Flächen 269 Flächen annähern 270 Flächen mithilfe linker Summen annähern 270 Flächen mithilfe rechter Summen annähern 273 Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 275 Die Summennotation 277 Die Grundlagen summieren 278 Riemann-Summen in Sigma-Notation 278 Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 282 Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 286 Die Trapezregel 287 Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 289 Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation 291 Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differenziation 291 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 293 Die müßige Flächenfunktion 294 Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 297 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil 2 301 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 1 304 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 2 306 Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 307 Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 309 Umkehrregeln für Stammfunktionen 309 Raten und Prüfen 312 Die Substitutionsmethode 313 Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 318 Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 321 Teilweise (partielle) Integration: Teile und Herrsche! 321 Das u auswählen 325 Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 327 Alles im Kreis! 328 Tricks mit Trig-Integralen 330 Integrale mit Sinus und Kosinus 331 Integrale mit Sekans und Tangens 334 Integrale mit Kosekans und Kotangens 337 Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 337 1. Fall: Tangens 338 2. Fall: Sinus 341 3. Fall: Sekans 342 A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 343 1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 344 2. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 345 3. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 347 Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 347 Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 349 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 350 Die Fläche zwischen zwei Kurven – der doppelte Spaß 353 Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 357 Die Wurstscheibenmethode 357 Die Pfannkuchenstapelmethode 359 Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 360 Die Methode mit den Matroschkas 362 Bogenlängen analysieren 365 Drehoberflächen – entstehen durch Drehen! 367 Uneigentliche Integrale – am Verlauf zu erkennen 370 Vertikale Asymptoten 371 Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 373 Und jetzt zu Gabriels Horn 375 Kapitel 17 Unendliche Reihen 379 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 380 Folgen aneinanderreihen 380 Reihen summieren 382 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 385 Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 385 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 387 Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 390 Tests auf Quotienten und Wurzeln 396 Alternierende Reihen 399 Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 399 Der Test mit den alternierenden Reihen 400 Nehmen Sie die Tests leicht 405 Teil VI: Der Top-Ten-Teil 407 Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten 409 Die drei binomischen Formeln 409 0/5 = 0, aber 5/0 ist undefiniert 409 0/0 ist nicht definiert 410 0 ⋅ ∞ ist nicht definiert 410 Irgendetwas0 = 1 410 Die GAGA-HühnerHof-AG 410 Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 411 sin2θ + cos2θ = 1 411 Die Produktregel 411 Die Quotientenregel 411 Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 413 (a + b)2 = a2 + b2 – falsch! 413 √a2 + b2 = a + b – falsch! 413 Steigung einer Geraden = x2 − x1/y2 − y1 – falsch! 413 3a + b/3a + c = b/c – falsch! 414 ea+b= ea + eb und ln(a + b) = ln(a) + ln(b) – falsch! 414 d/da x3 = 3x2 – falsch! 414 Wenn k eine Konstante ist, dann ist d/dx kx = k′x + kx′ – na ja … 414 Die Quotientenregel ist d/dx (u/v ) = v′u − vu′/v2 – falsch! 415 ∫ x2dx = 1/3 x3 – falsch! 415 ∫ (sin x)dx = cos x + C – falsch! 415 Stichwortverzeichnis 419

About the Author :
Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.