Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.
Table of Contents:
Über den Autor 11
Einführung 23
Über dieses Buch 23
Konventionen in diesem Buch 24
Wie Sie dieses Buch einsetzen 24
Törichte Annahmen über den Leser 25
Wie dieses Buch aufgebaut ist 25
Teil I: Analysis – ein Überblick 25
Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 25
Teil III: Grenzwerte 26
Teil IV: Differenziation 26
Teil V: Integration und unendliche Reihen 26
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 27
Wie es weitergeht 27
Teil I: Analysis – ein Überblick 29
Kapitel 1 Was ist Analysis? 31
Was Analysis nicht ist 31
Was also ist Analysis? 32
Beispiele für die Analysis aus der Praxis 34
Kapitel 2 Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 37
Differenziation – Definition 37
Die Ableitung ist eine Steigung 37
Die Ableitung ist eine Änderungsrate 39
Und jetzt zur Integration 40
Unendliche Reihen 41
Divergierende Reihen 42
Konvergierende Reihen 42
Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 45
Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 45
Was passiert beim Vergrößern? 46
Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 49
Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 49
Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 49
Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 51
Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 53
Was Sie über Brüche wissen sollten 53
Ein paar schnelle Regeln 54
Brüche multiplizieren 54
Brüche dividieren 54
Brüche addieren 55
Brüche subtrahieren 58
Brüche kürzen 58
Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 60
Potenzen machen stark 61
Zu den Wurzeln der Wurzeln 62
Wurzeln, überall Wurzeln! 62
Wurzeln vereinfachen 63
Logarithmen … wirklich keine Hexerei 64
Faktorisieren – wer braucht denn so was? 65
Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 65
Die Mustersuche 66
Faktorisierung quadratischer Polynome 67
Quadratische Gleichungen lösen 67
Methode 1: Faktorisieren 67
Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 69
Methode 3: Quadratische Ergänzung 70
Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 73
Was ist eine Funktion? 73
Die definierende Eigenschaft einer Funktion 74
Unabhängige und abhängige Variablen 76
Funktionsnotation 77
Verkettete Funktionen 77
Wie sieht eine Funktion aus? 79
Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 80
Geradeheraus – Geraden in der Ebene 80
Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 84
Einige ungerade Funktionen 85
Exponentialfunktionen 85
Logarithmusfunktionen 86
Inverse Funktionen 87
Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 88
Horizontale Transformationen 89
Vertikale Transformationen 90
Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 93
Trigonometrie im Crashkurs 93
Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 95
Das 45∘-45∘-90∘-Dreieck 95
Das 30∘-60∘-90∘-Dreieck 96
Im Einheitskreis gefangen! 97
Winkel im Einheitskreis 98
Winkel im Bogenmaß messen 98
Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 99
Und jetzt das Ganze zusammen 100
Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 102
Inverse trigonometrische Funktionen 104
Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 107
Teil III: Grenzwerte 109
Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 111
Bis an die Grenzen – NEIN 111
Drei Funktionen erklären den Grenzwert 112
Einseitige Betrachtungen 115
Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 116
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 117
Grenzwerte im Unendlichen – haben Sie gute Schuhe an? 119
Die Momentangeschwindigkeit berechnen – mithilfe von Grenzwerten 119
Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 122
Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 123
Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 124
Drei Bedingungen für die Stetigkeit 126
Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 126
Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 129
Einfache Grenzwerte 129
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 129
Grenzwerte geometrisch bestimmen 130
Einsetzen und Einkochen 131
Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 132
Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 132
Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 134
Guten Appetit – mit einem Grenzwertsandwich 137
Grenzwerte bei unendlich auswerten 141
Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 143
Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 144
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 145
Teil IV: Differenziation 147
Kapitel 9 Differenziation – Orientierung 149
Differenziation: Such die Steigung! 150
Die Steigung einer Geraden 153
Die Ableitung einer Geraden 155
Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 155
Analysis auf dem Spielplatz 155
Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 157
Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 158
Die Ableitung einer Kurve 158
Der Differenzenquotient 160
Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 167
Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 168
Kapitel 10 Regeln für die Differenziation –was sein muss, muss sein! 171
Grundlegende Regeln der Differenziation 172
Die Konstantenregel 172
Die Potenzregel 172
Die Faktorregel 174
Die Summenregel – die kennen Sie schon 175
Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 175
Trigonometrische Funktionen differenzieren 176
Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 176
Differenziationsregeln für Profis – Wir sind die Champions! 178
Die Produktregel 178
Die Quotientenregel 179
Die Kettenregel 181
Implizite Differenziation 186
Logarithmische Differenziation – der Rhythmus macht’s 188
Inverse Funktionen differenzieren 189
Ableitungen höherer Ordnung – die Leiter hinabsteigen 191
Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 193
Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 193
Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 194
Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 195
Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 196
Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 196
Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 196
Von nun an geht’s bergab! 196
Ihr Reisetagebuch 197
Extremwerte finden 198
Die kritischen Stellen herausleiern 198
Der Test der ersten Ableitung 200
Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 202
Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 205
Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 208
Krümmung und Wendepunkte bestimmen 210
Die Graphen von Ableitungen – bis zum Abwinken 212
Der Mittelwertsatz – es bleibt einem nichts erspart! 215
Die Regel von L’Hôpital: Analysis für den Notfall 218
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 219
Drei weitere nicht akzeptable Formen 220
Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 223
Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 223
Das maximale Volumen einer Schachtel 224
Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen – Cowboys unter sich! 226
Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 229
Geschwindigkeit und Tempo 231
Maximale und minimale Höhe 232
Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 233
Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 235
Und jetzt alles zusammen 236
Voneinander abhängige Änderungsraten 237
Einen Ballon aufblasen 237
Einen Trog auffüllen 240
Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 242
Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 245
Die Aufgabenstellung mit der Tangente 245
Und jetzt zur Normale 247
Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 250
Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 253
Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 253
Teil V: Integration und unendliche Reihen 261
Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung – ein Einstieg 263
Integration: Einfach eine seltsame Addition 263
Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 266
Der Umgang mit negativen Flächen 269
Flächen annähern 270
Flächen mithilfe linker Summen annähern 270
Flächen mithilfe rechter Summen annähern 273
Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 275
Die Summennotation 277
Die Grundlagen summieren 278
Riemann-Summen in Sigma-Notation 278
Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 282
Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 286
Die Trapezregel 287
Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 289
Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation 291
Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differenziation 291
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 293
Die müßige Flächenfunktion 294
Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 297
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil 2 301
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 1 304
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 2 306
Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 307
Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 309
Umkehrregeln für Stammfunktionen 309
Raten und Prüfen 312
Die Substitutionsmethode 313
Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 318
Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 321
Teilweise (partielle) Integration: Teile und Herrsche! 321
Das u auswählen 325
Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 327
Alles im Kreis! 328
Tricks mit Trig-Integralen 330
Integrale mit Sinus und Kosinus 331
Integrale mit Sekans und Tangens 334
Integrale mit Kosekans und Kotangens 337
Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 337
1. Fall: Tangens 338
2. Fall: Sinus 341
3. Fall: Sekans 342
A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 343
1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 344
2. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 345
3. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 347
Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 347
Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 349
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 350
Die Fläche zwischen zwei Kurven – der doppelte Spaß 353
Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 357
Die Wurstscheibenmethode 357
Die Pfannkuchenstapelmethode 359
Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 360
Die Methode mit den Matroschkas 362
Bogenlängen analysieren 365
Drehoberflächen – entstehen durch Drehen! 367
Uneigentliche Integrale – am Verlauf zu erkennen 370
Vertikale Asymptoten 371
Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 373
Und jetzt zu Gabriels Horn 375
Kapitel 17 Unendliche Reihen 379
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 380
Folgen aneinanderreihen 380
Reihen summieren 382
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 385
Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 385
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 387
Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 390
Tests auf Quotienten und Wurzeln 396
Alternierende Reihen 399
Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 399
Der Test mit den alternierenden Reihen 400
Nehmen Sie die Tests leicht 405
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 407
Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten 409
Die drei binomischen Formeln 409
0/5 = 0, aber 5/0 ist undefiniert 409
0/0 ist nicht definiert 410
0 ⋅ ∞ ist nicht definiert 410
Irgendetwas0 = 1 410
Die GAGA-HühnerHof-AG 410
Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 411
sin2θ + cos2θ = 1 411
Die Produktregel 411
Die Quotientenregel 411
Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 413
(a + b)2 = a2 + b2 – falsch! 413
√a2 + b2 = a + b – falsch! 413
Steigung einer Geraden = x2 − x1/y2 − y1 – falsch! 413
3a + b/3a + c = b/c – falsch! 414
ea+b= ea + eb und ln(a + b) = ln(a) + ln(b) – falsch! 414
d/da x3 = 3x2 – falsch! 414
Wenn k eine Konstante ist, dann ist d/dx kx = k′x + kx′ – na ja … 414
Die Quotientenregel ist d/dx (u/v ) = v′u − vu′/v2 – falsch! 415
∫ x2dx = 1/3 x3 – falsch! 415
∫ (sin x)dx = cos x + C – falsch! 415
Stichwortverzeichnis 419
About the Author :
Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.
