Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. Durch online zur Verfügung gestellte Übungsaufgaben und Lösungen können Sie das Gelernte festigen und Ihren Erfolg überprüfen. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.
Table of Contents:
Über den Autor 7 Einführung 21
Über dieses Buch 21
Konventionen in diesem Buch 21
Wie Sie dieses Buch einsetzen 22
Törichte Annahmen über den Leser 22
Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Teil I: Analysis – ein Überblick 23
Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 23
Teil III: Grenzwerte 23
Teil IV: Differenziation 24
Teil V: Integration und unendliche Reihen 24
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 24
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 25
Wie es weitergeht 25
Teil I Analysis – ein Überblick 27
Kapitel 1 Was ist Analysis? 29
Was Analysis nicht ist 29
Was also ist Analysis? 30
Beispiele für die Analysis aus der Praxis 32
Kapitel 2 Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 35
Differenziation – Definition 35
Die Ableitung ist eine Steigung 35
Die Ableitung ist eine Änderungsrate 36
Und jetzt zur Integration 37
Unendliche Reihen 39
Divergierende Reihen 39
Konvergierende Reihen 40
Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 43
Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 43
Was passiert beim Vergrößern? 44
Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 47
Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 47
Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 47
Teil II Die Voraussetzungen für die Analysis 49
Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 51
Was Sie über Brüche wissen sollten 51
Ein paar schnelle Regeln 51
Brüche multiplizieren 52
Brüche dividieren 52
Brüche addieren 53
Brüche subtrahieren 55
Brüche kürzen 55
Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 58
Potenzen machen stark 59
Zu den Wurzeln der Wurzeln 60
Wurzeln, Wurzeln überall! 60
Wurzeln vereinfachen 61
Logarithmen … wirklich keine Hexerei 62
Faktorisieren – wer braucht das schon? 63
Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 63
Die Mustersuche 63
Faktorisierung quadratischer Polynome 64
Quadratische Gleichungen lösen 65
Methode 1: Faktorisieren 65
Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 66
Methode 3: Quadratische Ergänzung 68
Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 69
Was ist eine Funktion? 69
Die definierende Eigenschaft einer Funktion 69
Unabhängige und abhängige Variablen 72
Funktionsnotation 73
Verkettete Funktionen 73
Wie sieht eine Funktion aus? 75
Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 76
Geradeheraus – Geraden in der Ebene 76
Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 80
Einige ungerade Funktionen 81
Exponentialfunktionen 81
Logarithmusfunktionen 82
Inverse Funktionen 82
Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 84
Horizontale Transformationen 85
Vertikale Transformationen 87
Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 89
Trigonometrie im Crashkurs 89
Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 91
Das 45°-45°-90°-Dreieck 91
Das 30°-60°-90°-Dreieck 92
Im Einheitskreis gefangen! 92
Winkel im Einheitskreis 93
Winkel im Bogenmaß messen 94
Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 95
Und jetzt das Ganze zusammen 96
Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 99
Inverse trigonometrische Funktionen 100
Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 103
Teil III Grenzwerte 105
Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 107
Bis an die Grenzen – NEIN 107
Drei Funktionen erklären den Grenzwert 107
Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 111
Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 113
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 113
Grenzwerte im Unendlichen – haben Sie gute Schuhe an? 115
Die Momentangeschwindigkeit berechnen – mithilfe von Grenzwerten 115
Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 118
Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 120
Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 120
Drei Bedingungen für die Stetigkeit 122
Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 122
Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 125
Einfache Grenzwerte 125
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 125
Grenzwerte geometrisch bestimmen 126
Einsetzen und Einkochen 127
Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 127
Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 128
Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 130
Guten Appetit – mit einem Grenzwertsandwich 133
Grenzwerte bei unendlich auswerten 137
Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 138
Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 139
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 140
Teil IV Differenziation 143
Kapitel 9 Differenziation – Orientierung 145
Differenziation: Sucht die Steigung! 146
Vielfalt ist die Lebenswürze 148
Die Steigung einer Geraden 149
Die Ableitung einer Geraden 151
Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 151
Analysis auf dem Spielplatz 151
Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 153
Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 154
Die Ableitung einer Kurve 155
Der Differenzenquotient 157
Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 164
Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 165
Kapitel 10 Regeln für die Differenziation – was sein muss, muss sein! 167
Grundlegende Regeln der Differenziation 168
Die Konstantenregel 168
Die Potenzregel 168
Die Faktorregel 170
Die Summenregel – und die kennen Sie schon 171
Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 171
Trigonometrische Funktionen differenzieren 172
Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 173
Differenziationsregeln für Profis – Wir sind die Champions! 174
Die Produktregel 175
Die Quotientenregel 175
Die Kettenregel 177
Implizite Differenziation 183
Logarithmische Differenziation – der Rhythmus macht’s 184
Inverse Funktionen differenzieren 185
Ableitungen höherer Ordnung – die Leiter hinabsteigen 187
Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 189
Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 189
Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 190
Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 191
Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 191
Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 192
Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 192
Von nun an geht's bergab! 192
Ihr Reisetagebuch 193
Extremwerte finden 194
Die kritischen Stellen herausleiern 194
Der Test der ersten Ableitung 195
Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 197
Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 200
Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 204
Krümmung und Wendepunkte bestimmen 205
Die Graphen von Ableitungen – bis zum Abwinken 208
Der Mittelwertsatz – es bleibt einem nichts erspart! 211
Hinweis für Pedanten wie mich 213
Die Regel von L'Hôpital: Analysis für den Notfall 213
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 215
Drei weitere nicht akzeptable Formen 216
Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 219
Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 219
Das maximale Volumen einer Schachtel 219
Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen – Cowboys unter sich! 222
Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 224
Geschwindigkeit und Tempo 227
Maximale und minimale Höhe 228
Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 229
Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 231
Und jetzt alles zusammen 232
Voneinander abhängige Änderungsraten 233
Einen Ballon aufblasen 233
Einen Trog auffüllen 236
Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 238
Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 241
Die Aufgabenstellung mit der Tangente 241
Und jetzt zur Normale 243
Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 245
Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 249
Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 249
Teil V Integration und unendliche Reihen 257
Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung – ein Einstieg 259
Integration: Einfach eine seltsame Addition 259
Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 262
Der Umgang mit negativen Flächen 264
Flächen annähern 266
Flächen mithilfe linker Summen annähern 266
Flächen mithilfe rechter Summen annähern 269
Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 271
Die Summennotation 273
Die Grundlagen summieren 273
Riemann-Summen in Sigma-Notation 274
Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 277
Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 281
Die Trapezregel 282
Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 284
Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation 287
Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differenziation 287
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 289
Die müßige Flächenfunktion 290
Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 293
Schlagzeile: Stammfunktionen vom Erbe ausgeschlossen, weil sie keine Nullstellen hatten! 296
Null ist nicht immer gleich null 297
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil2 297
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung1 300
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung2 302
Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 302
Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 304
Umkehrregeln für Stammfunktionen 304
Raten und Prüfen 307
Die Substitutionsmethode 308
Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 313
Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 315
Teilweise (partielle) Integration: Teilen und Herrschen! 315
Das u auswählen 319
Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 321
Alles im Kreis! 322
Tricks mit Trig-Integralen 323
Integrale mit Sinus und Kosinus 324
Integrale mit Sekans und Tangens 327
Integrale mit Kosekans und Kotangens 329
Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 329
1. Fall: Tangens 330
2. Fall: Sinus 333
3. Fall: Sekans 335
A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 335
1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 336
2. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 337
3. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 339
Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 339
Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 341
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 341
Der Mittelwertsatz der Integral- und der Differenzialrechnung – zwei Fliegen mit einer Klappe 344
Die Fläche zwischen zwei Kurven – der doppelte Spaß 345
Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 349
Die Wurstscheibenmethode 349
Die Pfannkuchenstapelmethode 351
Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 352
Die Methode mit den Matroschkas 354
Bogenlängen analysieren 357
Drehoberflächen – entstehen durch Drehen! 359
Uneigentliche Integrale – am Verlauf zu erkennen 362
Vertikale Asymptoten 364
Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 367
Und jetzt zu Gabriels Horn 369
Kapitel 17 Unendliche Reihen 373
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 373
Folgen aneinanderreihen 374
Reihen summieren 376
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 379
Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 379
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 381
Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 384
Tests auf Quotienten und Wurzeln 390
Alternierende Reihen 393
Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 394
Der Test mit den alternierenden Reihen 395
Nehmen Sie die Tests leicht 400
Teil VI Der Top-Ten-Teil 401
Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten 403
Die drei binomischen Formeln 403
0 5 ¼ 0, aber 50 ist undefiniert 403
0/0 ist nicht definiert 403
0 ∙ ∞ ist nicht definiert 404
Irgendetwas0 = 1 404
Die GAGA-HühnerHof-AG 404
Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 405
Sin2θ + cos2θ = 1 405
Die Produktregel 405
Die Quotientenregel 405
Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 407
(a + b)2 = a2 + b2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi – falsch! 407
a2þb2 q ¼ a þ b falsch! 407
Steigung einer Geraden = x2 & x1 y2 & y1 – falsch! 407
3a þ b 3a þ c ¼ b c – falsch! 407
d da x3¼ 3x2 – falsch! 408
Ea + b = ea + eb und ln (a + b) = ln (a) + ln (b) – falsch! 407
Wenn k eine Konstante ist, dann ist d dx kx ¼ k0x þ kx0 – na ja… 408
Die Quotientenregel ist d dx u v # % ¼v0u&vu0 v2 – falsch! 408
Ð x2dx¼13 x3 – falsch! 408
Ð ðsin xÞ dx ¼ cos x þ C – falsch! 408
Stichwortverzeichnis 409
About the Author :
Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.
