Analysis für Dummies: (Für Dummies)

Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. Durch online zur Verfügung gestellte Übungsaufgaben und Lösungen können Sie das Gelernte festigen und Ihren Erfolg überprüfen. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.

Table of Contents:
Über den Autor 7 Einführung 21 Über dieses Buch 21 Konventionen in diesem Buch 21 Wie Sie dieses Buch einsetzen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23 Teil I: Analysis – ein Überblick 23 Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 23 Teil III: Grenzwerte 23 Teil IV: Differenziation 24 Teil V: Integration und unendliche Reihen 24 Teil VI: Der Top-Ten-Teil 24 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 25 Wie es weitergeht 25 Teil I Analysis – ein Überblick 27 Kapitel 1 Was ist Analysis? 29 Was Analysis nicht ist 29 Was also ist Analysis? 30 Beispiele für die Analysis aus der Praxis 32 Kapitel 2 Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 35 Differenziation – Definition 35 Die Ableitung ist eine Steigung 35 Die Ableitung ist eine Änderungsrate 36 Und jetzt zur Integration 37 Unendliche Reihen 39 Divergierende Reihen 39 Konvergierende Reihen 40 Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 43 Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 43 Was passiert beim Vergrößern? 44 Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 47 Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 47 Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 47 Teil II Die Voraussetzungen für die Analysis 49 Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 51 Was Sie über Brüche wissen sollten 51 Ein paar schnelle Regeln 51 Brüche multiplizieren 52 Brüche dividieren 52 Brüche addieren 53 Brüche subtrahieren 55 Brüche kürzen 55 Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 58 Potenzen machen stark 59 Zu den Wurzeln der Wurzeln 60 Wurzeln, Wurzeln überall! 60 Wurzeln vereinfachen 61 Logarithmen … wirklich keine Hexerei 62 Faktorisieren – wer braucht das schon? 63 Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 63 Die Mustersuche 63 Faktorisierung quadratischer Polynome 64 Quadratische Gleichungen lösen 65 Methode 1: Faktorisieren 65 Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 66 Methode 3: Quadratische Ergänzung 68 Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 69 Was ist eine Funktion? 69 Die definierende Eigenschaft einer Funktion 69 Unabhängige und abhängige Variablen 72 Funktionsnotation 73 Verkettete Funktionen 73 Wie sieht eine Funktion aus? 75 Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 76 Geradeheraus – Geraden in der Ebene 76 Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 80 Einige ungerade Funktionen 81 Exponentialfunktionen 81 Logarithmusfunktionen 82 Inverse Funktionen 82 Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 84 Horizontale Transformationen 85 Vertikale Transformationen 87 Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 89 Trigonometrie im Crashkurs 89 Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 91 Das 45°-45°-90°-Dreieck 91 Das 30°-60°-90°-Dreieck 92 Im Einheitskreis gefangen! 92 Winkel im Einheitskreis 93 Winkel im Bogenmaß messen 94 Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 95 Und jetzt das Ganze zusammen 96 Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 99 Inverse trigonometrische Funktionen 100 Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 103 Teil III Grenzwerte 105 Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 107 Bis an die Grenzen – NEIN 107 Drei Funktionen erklären den Grenzwert 107 Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 111 Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 113 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 113 Grenzwerte im Unendlichen – haben Sie gute Schuhe an? 115 Die Momentangeschwindigkeit berechnen – mithilfe von Grenzwerten 115 Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 118 Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 120 Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 120 Drei Bedingungen für die Stetigkeit 122 Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 122 Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 125 Einfache Grenzwerte 125 Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 125 Grenzwerte geometrisch bestimmen 126 Einsetzen und Einkochen 127 Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 127 Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 128 Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 130 Guten Appetit – mit einem Grenzwertsandwich 133 Grenzwerte bei unendlich auswerten 137 Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 138 Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 139 Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 140 Teil IV Differenziation 143 Kapitel 9 Differenziation – Orientierung 145 Differenziation: Sucht die Steigung! 146 Vielfalt ist die Lebenswürze 148 Die Steigung einer Geraden 149 Die Ableitung einer Geraden 151 Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 151 Analysis auf dem Spielplatz 151 Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 153 Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 154 Die Ableitung einer Kurve 155 Der Differenzenquotient 157 Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 164 Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 165 Kapitel 10 Regeln für die Differenziation – was sein muss, muss sein! 167 Grundlegende Regeln der Differenziation 168 Die Konstantenregel 168 Die Potenzregel 168 Die Faktorregel 170 Die Summenregel – und die kennen Sie schon 171 Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 171 Trigonometrische Funktionen differenzieren 172 Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 173 Differenziationsregeln für Profis – Wir sind die Champions! 174 Die Produktregel 175 Die Quotientenregel 175 Die Kettenregel 177 Implizite Differenziation 183 Logarithmische Differenziation – der Rhythmus macht’s 184 Inverse Funktionen differenzieren 185 Ableitungen höherer Ordnung – die Leiter hinabsteigen 187 Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 189 Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 189 Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 190 Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 191 Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 191 Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 192 Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 192 Von nun an geht's bergab! 192 Ihr Reisetagebuch 193 Extremwerte finden 194 Die kritischen Stellen herausleiern 194 Der Test der ersten Ableitung 195 Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 197 Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 200 Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 204 Krümmung und Wendepunkte bestimmen 205 Die Graphen von Ableitungen – bis zum Abwinken 208 Der Mittelwertsatz – es bleibt einem nichts erspart! 211 Hinweis für Pedanten wie mich 213 Die Regel von L'Hôpital: Analysis für den Notfall 213 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 215 Drei weitere nicht akzeptable Formen 216 Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 219 Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 219 Das maximale Volumen einer Schachtel 219 Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen – Cowboys unter sich! 222 Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 224 Geschwindigkeit und Tempo 227 Maximale und minimale Höhe 228 Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 229 Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 231 Und jetzt alles zusammen 232 Voneinander abhängige Änderungsraten 233 Einen Ballon aufblasen 233 Einen Trog auffüllen 236 Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 238 Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 241 Die Aufgabenstellung mit der Tangente 241 Und jetzt zur Normale 243 Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 245 Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 249 Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 249 Teil V Integration und unendliche Reihen 257 Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung – ein Einstieg 259 Integration: Einfach eine seltsame Addition 259 Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 262 Der Umgang mit negativen Flächen 264 Flächen annähern 266 Flächen mithilfe linker Summen annähern 266 Flächen mithilfe rechter Summen annähern 269 Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 271 Die Summennotation 273 Die Grundlagen summieren 273 Riemann-Summen in Sigma-Notation 274 Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 277 Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 281 Die Trapezregel 282 Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 284 Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation 287 Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differenziation 287 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 289 Die müßige Flächenfunktion 290 Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 293 Schlagzeile: Stammfunktionen vom Erbe ausgeschlossen, weil sie keine Nullstellen hatten! 296 Null ist nicht immer gleich null 297 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil2 297 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung1 300 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung2 302 Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 302 Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 304 Umkehrregeln für Stammfunktionen 304 Raten und Prüfen 307 Die Substitutionsmethode 308 Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 313 Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 315 Teilweise (partielle) Integration: Teilen und Herrschen! 315 Das u auswählen 319 Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 321 Alles im Kreis! 322 Tricks mit Trig-Integralen 323 Integrale mit Sinus und Kosinus 324 Integrale mit Sekans und Tangens 327 Integrale mit Kosekans und Kotangens 329 Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 329 1. Fall: Tangens 330 2. Fall: Sinus 333 3. Fall: Sekans 335 A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 335 1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 336 2. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 337 3. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 339 Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 339 Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 341 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 341 Der Mittelwertsatz der Integral- und der Differenzialrechnung – zwei Fliegen mit einer Klappe 344 Die Fläche zwischen zwei Kurven – der doppelte Spaß 345 Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 349 Die Wurstscheibenmethode 349 Die Pfannkuchenstapelmethode 351 Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 352 Die Methode mit den Matroschkas 354 Bogenlängen analysieren 357 Drehoberflächen – entstehen durch Drehen! 359 Uneigentliche Integrale – am Verlauf zu erkennen 362 Vertikale Asymptoten 364 Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 367 Und jetzt zu Gabriels Horn 369 Kapitel 17 Unendliche Reihen 373 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 373 Folgen aneinanderreihen 374 Reihen summieren 376 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 379 Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 379 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 381 Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 384 Tests auf Quotienten und Wurzeln 390 Alternierende Reihen 393 Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 394 Der Test mit den alternierenden Reihen 395 Nehmen Sie die Tests leicht 400 Teil VI Der Top-Ten-Teil 401 Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten 403 Die drei binomischen Formeln 403 0 5 ¼ 0, aber 50 ist undefiniert 403 0/0 ist nicht definiert 403 0 ∙ ∞ ist nicht definiert 404 Irgendetwas0 = 1 404 Die GAGA-HühnerHof-AG 404 Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 405 Sin2θ + cos2θ = 1 405 Die Produktregel 405 Die Quotientenregel 405 Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 407 (a + b)2 = a2 + b2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi – falsch! 407 a2þb2 q ¼ a þ b falsch! 407 Steigung einer Geraden = x2 & x1 y2 & y1 – falsch! 407 3a þ b 3a þ c ¼ b c – falsch! 407 d da x3¼ 3x2 – falsch! 408 Ea + b = ea + eb und ln (a + b) = ln (a) + ln (b) – falsch! 407 Wenn k eine Konstante ist, dann ist d dx kx ¼ k0x þ kx0 – na ja… 408 Die Quotientenregel ist d dx u v # % ¼v0u&vu0 v2 – falsch! 408 Ð x2dx¼13 x3 – falsch! 408 Ð ðsin xÞ dx ¼ cos x þ C – falsch! 408 Stichwortverzeichnis 409

About the Author :
Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.