Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus: (Mitteilungen aus dem Institut für Angewandte Mathematik)

Im Anschluss an eine praktische Anwendung des BO-Algorithmus (Biortho­ gonalisierungs-Algorithmus von C. LANCZOS [4], [5]1) machte mich Herr Prof. E. STIEFEL, ETH, auf das Problem aufmerksam, die höheren Eigenwerte direkt aus den sogenannten Schwarzsehen Konstanten zu bestimmen, das heisst ohne den Umweg über die Orthogonalisierung. Auf diese Anregung hin entwickelte der Verfasser einen Algorithmus, der die gestellte Aufgabe löst. Allerdings gab bereits A. C. AITKEN [1] eine Methode an, welche haupt­ sächlich zur Auflösung algebraischer Gleichungen gedacht war, aber auch die Bestimmung höherer Eigenwerte aus Schwarzsehen Konstanten gestattet. 2 Ferner stammt von C. LANCZOS ein Algorithmus ) zur Bestimmung des charak­ teristischen Polynoms einer Matrix aus Schwarzsehen Konstanten. Überdies entwickelte J. HADAMARD in seiner Dissertation [2] eine Methode zur Bestim­ mung der Pole einer durch ihre Potenzreihe gegebenen Funktion. Er hat damit, wie § 1 zeigen wird, auch das eingangs erwähnte Eigenwertproblem gelöst. Wenn hier das schon gelöste Problem nochmals aufgegriffen wird, so geschieht dies deshalb, weil der entwickelte Algorithmus eine Reihe von weiteren An­ wendungen gestattet und insbesondere auch wertvolle Beziehungen zur Ketten­ bruchtheorie vermittelt3). Die Arbeit gliedert sich in drei Kapitel, von denen sich die Kapitel I und n mit Theorie und Anwendungen befassen, während III eine Ausdehnung des QD-Algorithmus auf Vektoren behandelt. Schliesslich folgt ein Anhang über verwandte Methoden (insbesondere die LR-Transformation). Die Kapitel I, n, In sind einzeln bereits in der ZAMP erschienen'), doch ist zu beachten, dass I und n zum Teil erhebliche Veränderungen erfahren haben.

Table of Contents:
I. Kapitel. Theoretische Grundlagen.- § 1. Problemstellung.- § 2. Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus.- § 3. Die Rhombenregeln.- § 4. Die zugeordneten Polynome p?(v)(Z).- § 5. Beziehungen zur Kettenbruchtheorie.- § 6. Schwierigkeiten bei der Bildung des QD-Schemas.- § 7. Grundlegende Eigenschaften des QD-Algorithmus.- § 8. Beziehungen zum BO-Algorithmus von C. LAnczos.- § 9. Beziehungen zum cg-Algorithmus.- § 10. Ein Additionstheorem für Kettenbrüche.- II. Kapitel. Anwendungen des QD-Algorithmus.- § 1. Umwandlung einer Potenzreihe in einen Kettenbruch.- § 2. Summation schlecht konvergenter Reihen.- § 3. Auflösung von algebraischen Gleichungen.- § 4. Die progressive Form des QD-Algorithmus.- § 5. Auflösung algebraischer Gleichung mit Hilfe des progressiven QD-Algorithmus.- § 6. Die Wronskische Formel.- § 7. Bestimmung komplexer Nullstellen.- § 8. Quadratische Konvergenz des QD-Algorithmus.- § 9. Massnahmen bei Division durch Null.- § 10. Interpolation durch Exponentialsummen.- III. Kapitel. Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix mit Hilfe des Quotienten-Differenzen-Algorithmus.- § 1. Die Bestimmung der Eigenwerte.- § 2. Das Problem der Eigenvektorberechnung.- § 3. Rekursive Berechnung der Vektoren x?(2µ), y?(2µ).- § 4. Ein quadratisch konvergentes Verfahren zur Eigenvektorbestimmung.- § 5. Eigenwerte und Eigenvektoren unendlicher symmetrischer Matrizen.- IV. Kapitel. Anhang.- § 1. Die LR-Transformation.- § 2. Ein kontinuierliches Analogon zum QD-Algorithmus.- § 3. QD-Relaxation.