Die Praktische Behandlung von Integral-Gleichungen: (1 Ergebnisse der angewandten Mathematik)

Die praktische Behandlung der Integralgleichungen bildet einen ver- hältnismäßig jungen, noch im Wachstum begriffenen Zweig der prak- tischen Mathematik. Immerhin hat die Entwicklung praktischer Me- thoden für die linearen Integralgleichungen 2. Art (auch Fredholmsche Integralgleichungen genannt) heute einen Stand erreicht, der es recht- fertigt, die bisher bekannt gewordenen Verfahren zu ordnen und ihre Grundlagen und Zusammenhänge nach Möglichkeit darzulegen. Dies ist der Gegenstand dieses Berichts. Es zeigt sich, daß die weitaus größte Zahl der praktischen Verfahren zu zwei großen Kategorien gehört, nämlich zu den Iterationsverfahren und zu solchen, die sich auf einen Ersatz des Kerns der Integralgleichung zurückführen lassen. Da Iterfl, tion und Kernersatz nicht auf Fredholm- sehe Gleichungen beschränkt sind, so ist zu hoffen, daß die Begründung beider Methoden für Fredholmsche Gleichungen auch von Nutzen für die praktische Behandlung anderer Integralgleichungstypen sein wird, insbesondere für die linearen Integralgleichungen 1. Art, die in diesem Bericht nicht behandelt werden. Obwohl es in vielen Fällen keine Schwierigkeit bereitet, die in diesem Bericht behandelten Methoden auf Integralgleichungen 1. Art anzuwenden, so ist doch die Entwick- lung von Verfahren für diesen Typ noch zu sehr im Flusse, um ihre Zusammenstellung und Ordnung nicht als verfrüht erscheinen zu lassen. Immerhin sei in diesem Zusammenhang auf einige wichtige Literatur hingewiesen, nämlich auf die Bücher und Arbeiten [20], [30], [36], [44], [61], [63], [71], [78], [80] und [83]. Hier wie auch im ganzen Bericht beziehen sich Zahlen in eckigen Klammern auf das am Ende befindliche Literaturverzeichnis. Die Einschließungssätze des H.

Table of Contents:
I. Abschnitt. Formeln und Sätze aus der Theorie der Fredholmschen Integralgleichungen.- § 1. Fredholmsche Integralgleichungen, Systeme und gemischte Gleichungen, Integraloperatoren.- § 2. Der reziproke Kern und die Fredholmschen Formeln.- § 3. Orthogonale und biorthogonale Systeme von Funktionen; die Nullstellen der Fredholmschen Determinante.- § 4. Spezielle Integraloperatoren.- § 5. Zusammengesetzte Operatoren.- II. Abschnitt. Die Berechnung von Eigenwerten mit Hilfe von Formeln und Variationsprinzipien. Einschließungssätze.- § 6. Berechnung der Eigenwerte aus der Fredholmschen Determinante.- § 7. Die Potenzsummen der reziproken Eigenwerte.- § 8. Extremaleigenschaften der Eigenwerte eines Hermiteschen Kerns. 1. Einschließungssatz.- § 9. Extremaleigenschaften rational transformierter Eigenwerte Hermitescher Integraloperatoren und allgemeine Einschließungssätze.- § 10. Dreigliedrige Einschließungspolynome. Verträgliche Spektra.- III. Abschnitt. Iterationsverfahren.- § 11. Asymptotisches Gesetz der klassischen Iteration.- § 12. Der Begriff der Beteiligung.- § 13. Anwendung des klassischen Iterationsverfahrens auf die inhomogene Integralgleichung.- § 14. Die Berechnung des 1. Eigenwertes eines beliebigen Kerns für den Fall |?1| < |?2|.- § 15. Berechnung des 1. Eigenwertes beim Hermiteschen Kern.- § 16. Die Berechnung der höheren Eigenwerte aus Iterationsfolgen, an deren Ausgangsfunktion ?1 beteiligt ist.- § 17. Die Abspaltung von Eigenwerten.- § 18. Beispiele zum Abspaltungssatz für Integraloperatoren.- § 19. Gemischte Iteration für die inhomogene Integralgleichung.- § 20. Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen nach der gemischten Iteration.- § 21. Ein stets anwendbares Iterationsverfahren.- § 22. Gebrochen lineare Iteration.-§ 23. Quadratisch konvergente Iteration.- IV. Abschnitt. Ersatz des Kernes und der Störfunktion.- § 24. Die Abschätzungen von Tricomi.- § 25. Abschätzungen für die Änderungen, die die Eigenwerte Hermitescher Kerne erfahren.- § 26. Abschätzung der Änderung von Eigenfunktionen.- § 27. Konvergenzsätze 8.- § 28. Analytische Störungsrechnung für Hermitesche Kerne. Existenzsätze.- § 29. Anwendung der Störungsrechnung. Der ungestörte Eigenwert ist einfach.- § 30. Abschätzungen für die Störung beim einfachen Eigenwert.- § 31. Störung eines mehrfachen Eigenwerts.- § 32. Störungstheorie der inhomogenen Integralgleichung.- § 33. Ersatz durch entartete Kerne.- § 34. Das Variationsproblem von E. Schmidt für den entarteten Ersatzkern.- § 35. Die Eigenfunktionen werden durch Linearkombinationen gegebener Funktionen approximiert.- § 36. Die Lösung der inhomogenen Integralgleichung wird durch eine Linearkombination gegebener Funktionen approximiert.- § 37. K* (s, t) = K (s, t) für ein Punktgitter.- § 38. Die Analogiemethoden.- § 39. Konvergenzbetrachtungen zu den Analogiemethoden. Formale Analogie zur Störungsrechnung.- § 40. Anwendung der Konvergenzaussagen.- V. Abschnitt. Spezielle Kerne.- § 41. Kerne K (s, t) mit verschiedenen Bildungsgesetzen in den Bereichen s ? t und s > t.- § 42. Die Volterrasche Integralgleichung vom Faltungstyp.- § 43. Kerne, die sich physikalisch-technisch realisieren lassen.