Mathematik mit DERIVE: (Computeralgebra)

Anläßlich eines Forschungsaufenthalts 1988/1989 von Bob Gilbert (University of De­ laware, USA) am Fachbereich Mathematik der Freien Universität Berlin wurde ich durch ihn auf die Verwendung symbolischer Mathematikprogramme, und zwar des Computeralgebrasystems MACSYMA, in der mathematischen Forschung aufmerk­ sam gemacht. Von diesem Zeitpunkt an kam ich von dem Gedanken der Benutzung solcher Programme in der mathematischen Lehre nicht mehr los. Die Miniaturisierung in der Computertechnologie hatte derartige Programme nun auf kleinsten Rechnern verfügbar gemacht, und ich war sicher, daß dies die Praxis von Mathematikerinnen und Mathematikern sowie Mathematikanwendern in der nahen Zukunft radikal verändern wird. Anstatt schwierige Integrale von Hand aus­ zurechnen - mit der Gefahr, sich in langwierigen Teilschritten zu verrechnen -, wird z. B. der zukünftige Bauingenieur versuchen, das betreffende Integral zunächst mit einem Mathematikprogramm zu lösen. Nur, wenn er hiermit scheitert, wird er zur bewährten Handberechnung übergehen. Wir wollen nicht verhehlen, daß auch dies eine nicht zu unterschätzende Gefahr birgt, nämlich die, Ergebnissen von Mathe­ matikprogrammen unbegrenzt Vertrauen zu schenken. Genauso, wie man ein von Hand berechnetes Resultat durch Kontrollrechnungen so lange überprüfen muß, bis man sich des Ergebnisses sicher ist, muß man die Ergebnisse, die ein Mathematik­ progamm erzeugt, einer sorgfältigen Überprüfung unterziehen. Wenn aber solche Programme sowohl in der Forschung als auch in der Praxis von Bedeutung sind, sollten sie in der mathematischen Lehre ebenfalls eine Rolle spie­ len. Weil die Praxis der Arbeit mit einem Mathematikprogramm einer entsprechen­ den Schulung bedarf, muß diese in die Mathematikausbildungintegriert werden.

Table of Contents:
1 Mengen und Zahlen.- 1.1 Mengen und Aussagen.- 1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 1.3 Die reellen Zahlen.- 1.4 Variablen, Gleichungen und Ungleichungen.- 1.5 Zwei fundamentale Eigenschaften der reellen Zahlen.- 1.6 Die komplexen Zahlen.- 1.7 Abzählbare und überabzählbare Mengen.- 2 Der Euklidische Raum.- 2.1 Der zweidimensionale euklidische Raum.- 2.2 Die Gaußsche Zahlenebene.- 3 Funktionen und Graphen.- 3.1 Reelle Funktionen und ihre Graphen.- 3.2 Lineare Funktionen und Geraden.- 3.3 Reelle Polynome.- 3.4 Polynominterpolation.- 3.5 Rationale Funktionen im Reellen.- 3.6 Rationale Funktionen im Komplexen.- 3.7 Umkehrfunktionen und algebraische Funktionen.- 4 Folgen, Konvergenz und Grenzwerte.- 4.1 Konvergenz reeller Zahlenfolgen.- 4.2 Fundamentale Konvergensätze für Folgen.- 4.3 Reihen.- 4.4 Konvergenzkriterien für Reihen.- 5 Die elementaren transzendenten Funktionen.- 5.1 Potenzreihen.- 5.2 Die Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe.- 5.3 Eigenschaften der Exponentialfunktion.- 5.4 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.- 5.5 Die komplexe Exponentialfunktion.- 5.6 Die hyperbolischen Funktionen.- 6 Stetige Funktionen.- 6.1 Grenzwerte und Stetigkeit.- 6.2 Einseitige Grenzwerte.- 6.3 Fundamentale Eigenschaften stetiger Funktionen.- 6.4 Uneigentliche Grenzwerte und Grenzwerte für x ? ±?.- 6.5 Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen.- 7 Das Riemann-Integral.- 7.1 Riemann-Integrierbarkeit.- 7.2 Integrale und Flächeninhalt.- 7.3 Das unbestimmte Integral.- 8 Numerische Integration.- 8.1 Wozu numerische Integration?.- 8.2 Das Trapezverfahren.- 8.3 Die Simpsonsche Formel.- 9 Differentiation.- 9.1 Das Tangentenproblem.- 9.2 Die Ableitung.- 9.3 Ableitungsregeln.- 9.4 Höhere Ableitungen.- 9.5 Lokale Eigenschaften differenzier barerFunktionen.- 9.6 Die Kettenregel und implizite Differentiation.- 10 Globale Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.- 10.1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 10.2 Globale Extremwerte und Monotonieeigenschaften.- 10.3 Konvexität.- 10.4 Die Regel von de l’Hospital.- 10.5 Das Newton-Verfahren.- 10.6 Chaos in der Analysis.- 11 Integrationstechniken.- 11.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 11.2 Integration rationaler Funktionen.- 11.3 Integration durch Substitution.- 11.4 Partielle Integration.- 11.5 Uneigentliche Integrale.- 11.6 Volumen- und Oberflächenberechnungen.- 12 Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen.- 12.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 12.2 Potenzreihen.- 12.3 Taylorapproximation.- 12.4 Lagrange-Interpolation.- 13 Anhang: Einführung in Derive.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Griechische Buchstaben.- Stichwortverzeichnis.