Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies 2e

Alle Naturwissenschaftler benötigen sie, kaum einer mag sie: die Mathematik. Aber Mathematik muss nicht dröge und schwer verständlich sein, manchmal kann sie sogar ein bisschen Spaß machen. Thoralf Räsch vermittelt Ihnen die Grundlagen, die alle Naturwissenschaftler benötigen: Algebra, Analysis, Differentiation, Integration, Lineare Algebra, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anhand vieler Tipps und Praxisbeispiele lernen Sie, wie die erworbenen Kenntnisse in den Naturwissenschaften angewendet werden. Dieses Buch richtet sich an Studierende aller Naturwissenschaften - sowohl zum Lernen als auch zum Nachschlagen.

Table of Contents:
Einleitung 23 Ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen 25 Törichte Annahmen über den Leser 26 Konventionen in diesem Buch 26 Wie dieses Buch aufgebaut ist 27 Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen 27 Teil II: Differentiation – die Kunst des Ableitens 27 Teil III: Integration – eine Kunst für sich 27 Teil IV: Lineare Algebra 27 Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 28 Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 28 Teil VII: Der Top-Ten-Teil 28 Anhang 28 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 28 Wie es weitergeht 29 Teil I Algebraische und analytische Grundlagen 31 Kapitel 1 Die Krabbelkiste der Mathematik 33 Logische Grundlagen 33 Wahre und falsche Aussagen 33 Aussagen verknüpfen 34 Quantoren in den Griff bekommen 35 Zahlen und Fakten 36 Die Zahlbereiche im Visier 36 Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37 Das Summenzeichen 37 Bruchrechnung überleben 38 Potenzen und Wurzeln 39 Einfache (Un-)Gleichungen und Beträge auflösen 40 Gleichungen in Angriff nehmen 40 Ungleichungen in den Griff bekommen 44 Beträge ins Spiel bringen 46 Kapitel 2 Mengen, Induktionen, Prozente und Zinsen 49 Alles über Mengen 49 Mengen im Supermarkt? 49 Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 51 Von Zahlen, Mengen und Intervallen 52 Mit Mengen einfach rechnen können 52 Venn-Diagramme 57 Vollständige Induktion bezwingt die Unendlichkeit 58 Prozentrechnung für den Alltag 61 Nur zwei Prozent Mieterhöhung 62 Das eigene Heim trotz Provision? 62 Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 62 Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 62 Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 63 Immer auf die genaue Formulierung achten 63 Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 63 Zinsrechnung zum Verstehen 64 Lohnender Zinsertrag 64 Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 64 Suche nach dem Startkapital 65 Taggenaue Zinsen 65 Kapitalwachstum: Zinseszins 65 Eine feste Anlage für zehn Jahre 66 Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 66 Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 67 Kapitel 3 Elementare Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit 69 Grundlegendes zu Funktionen 69 Was sind eigentlich Funktionen? 69 Grafische Darstellung von Funktionen 71 Grundlegende Funktionen 72 Polynome 72 Rationale Funktionen 75 Exponentialfunktionen 76 Logarithmusfunktionen 77 Von Umkehr- und inversen Funktionen 77 Trigonometrische Funktionen 79 Bis an die Grenzen gehen 82 Drei Funktionen erklären den Grenzwert 82 Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 83 Die formale Definition eines Grenzwerts – wie erwartet! 84 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 84 Grenzwerte für x gegen unendlich 85 Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 85 Einfache Grenzwerte auswerten 87 Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 87 Einsetzen und Auswerten 88 Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 88 Faktorisieren aus Leidenschaft 88 Konjugierte Multiplikation 89 Algebraische Hilfe – Einfache Umformungen 89 Machen Sie eine Pause – mit einem Grenzwert-Sandwich 90 Grenzwerte bei unendlich auswerten 91 Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 92 Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 93 Teil II Differentiation – die Kunst des Ableitens 95 Kapitel 4 Idee und Regeln des Ableitens – was sein muss, muss sein 97 Erste Schritte des Ableitens 97 Steigungen gesucht! 97 Steigung von Geraden 99 Steigung von Parabeln 100 Der Differenzenquotient 101 Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 106 Grundlegende Regeln der Differentiation 107 Die Konstantenregel 108 Die Potenzregel 108 Die Koeffizientenregel 108 Die Summenregel – und die kennen Sie schon 109 Trigonometrische Funktionen differenzieren 109 Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 109 Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs! 110 Die Produktregel 110 Die Quotientenregel 111 Die Kettenregel 111 Implizite Differentiation 114 Logarithmische Differentiation 116 Differentiation von Umkehrfunktionen 116 Keine Angst vor höheren Ableitungen 118 Kapitel 5 Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 121 Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 121 Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 121 Konvexität und Wendepunkte 122 Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 123 Ein atemberaubender Ausblick: Das globale Maximum 123 Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 123 Von nun an geht's bergab! 123 Ihr mathematisches Reisetagebuch 124 Lokale Extremwerte finden 125 Die kritischen Werte suchen 125 Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 126 Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 128 Globale Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 129 Die globalen Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden 131 Konvexität und Wendepunkte bestimmen 133 Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 138 Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 139 Das nützliche Taylerpolynom 141 Die Regel von l’Hospital 144 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 146 Drei weitere nicht akzeptable Formen 146 Kapitel 6 Von Folgen und Reihen 149 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 149 Folgen aneinanderreihen 149 Reihen summieren 152 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 155 Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 155 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 156 Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 158 Quotienten- und Wurzelkriterium 161 Alternierende Reihen 164 Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 164 Das Kriterium mit den alternierenden Reihen 165 Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 168 Teil III Integration – Eine Kunst für sich 171 Kapitel 7 Integration: Die Rückwärts-Differentiation 173 Flächenberechnung – eine Einführung 173 Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 174 Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 179 Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 180 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 182 Die müßige Flächenfunktion 182 Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 185 Die erste Version des Hauptsatzes 185 Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 188 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 190 Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 192 Umkehrregeln für Stammfunktionen 192 Raten und prüfen 193 Die Substitutionsmethode 194 Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 196 Kapitel 8 Integration: Praktische Tricks für Profis 199 Partielle Integration: Teile und herrsche! 199 Das richtige u auswählen 201 Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 202 Alles im Kreis! 203 Integrale mit Sinus und Kosinus 204 Fall 1: Die Potenz von Sinus ist ungerade und positiv 204 Fall 2: Die Potenz von Kosinus ist ungerade und positiv 204 Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade und nicht negativ 205 Das ABC der Partialbrüche 205 Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 206 Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 207 Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 208 Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 209 Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 210 Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 210 Bogenlängen bestimmen 212 Drehoberflächen entstehen durch Drehen! 214 Teil IV Lineare Algebra 217 Kapitel 9 Grundlagen der Vektorräume 219 Vektoren erleben 219 Vektoren veranschaulichen 220 Mit Vektoren anschaulich rechnen 222 Mit Vektoren abstrakt rechnen 223 Betrag eines Vektors 225 Skalarprodukt von Vektoren 226 Schöne Vektorraumteilmengen = Untervektorräume 228 Vektoren und ihre Koordinaten 229 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 233 Punkte im Raum 233 Parametergleichung für Geraden 234 Zweipunktegleichung für Geraden 235 Parametergleichung für Ebenen 236 Dreipunktegleichung für Ebenen 237 Koordinatengleichung für Ebenen 237 Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 237 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 239 Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 246 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 249 Arten von linearen Gleichungssystemen 249 Homogene Gleichungssysteme 250 Inhomogene Gleichungssysteme 250 Überbestimmte Gleichungssysteme 251 Unterbestimmte Gleichungssysteme 251 Quadratische Gleichungssysteme 251 Nicht lösbare Gleichungssysteme 252 Grafische Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme 252 Einfache Geraden im zweidimensionalen Raum 252 Beliebige Geraden im zweidimensionalen Raum 253 Punkte im zweidimensionalen Raum 254 Ebenen im zweidimensionalen Raum 254 Der dreidimensionale Raum 254 Die vierte Dimension 255 Was sind eigentlich Matrizen? 256 Rechnen mit Matrizen 257 Matrizen in Produktionsprozessen der Praxis 259 Transponieren und Invertieren 260 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 262 Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 263 Der Rang von Matrizen 267 Matrizen invertieren in der Praxis 268 Kriterien für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen 269 Matrizen und lineare Abbildungen 270 Was sind lineare Abbildungen? 271 Matrizen als lineare Abbildungen 272 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 272 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 273 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen 275 Kapitel 11 Matrizen – Das Finale! 277 Matrizen und ihre Determinanten 277 Determinanten von (2 × 2)-Matrizen 277 Determinanten von (3 × 3)-Matrizen 278 Determinanten von allgemeinen Matrizen 278 Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 281 Die Cramersche Regel 282 Berechnung der Inversen mittels der Adjunktenformel 284 Flächen und Volumina mittels Determinanten 285 Kreuzprodukt von Vektoren 287 Basistransformation 288 Auf den Maßstab kommt es an! 289 Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 290 Matrixdarstellung bezüglich verschiedener Basen 291 Basistransformationsmatrizen 293 Überzeugende Diagramme 294 Eigenwerte und Eigenvektoren 296 Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 296 Eigenwerte einer Matrix berechnen 297 Eigenvektoren einer Matrix berechnen 298 Eigenräume finden und analysieren 299 Matrizen diagonalisieren 300 Drehungen und Spiegelungen 304 Drehungen in der Ebene 304 Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 307 Spiegelungen in der Ebene 307 Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 309 Drehungen im dreidimensionalen Raum 311 Kapitel 12 Nicht reell, aber real: Komplexe Zahlen 315 Was sind komplexe Zahlen? 315 Komplexe Rechenoperationen 317 Komplexe quadratische Gleichungen 319 Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 321 Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 322 Anwendungen komplexer Zahlen 324 Teil V Grundlagen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung 327 Kapitel 13 Das Handwerkszeug des Statistikers 329 Die Grundgesamtheit 329 Die Stichprobe 330 Die Zufallsstichprobe 331 Daten 331 Statistik 332 Das arithmetische Mittel – der Mittelwert 332 Der Median 333 Die Standardabweichung 333 Perzentil vs. Quantil 334 Der Standardwert 334 Die Normalverteilung 335 Schätzwerte 336 Der Zentrale Grenzwertsatz 336 Das Gesetz der großen Zahlen 337 Das Konfidenzintervall 338 Korrelation und Kausalzusammenhang 339 Kapitel 14 Von Mittelwerten, Quantilen und vertrauenswürdigen Zusammenhängen 341 Daten mit statistischen Größen beschreiben 341 Qualitative Daten beschreiben 342 Quantitative Daten beschreiben 345 Lagemaße 345 Berechnen von Variationen 349 Mit Perzentilen die relative Position ermitteln 354 Die Suche nach dem Zusammenhang: Korrelationen und ihre Koeffizienten 358 Streudiagramme erstellen 359 Interpretation eines Streudiagramms 359 Die Beziehung zwischen zwei quantitativen Variablen quantifizieren 360 Kapitel 15 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 363 Arten der Wahrscheinlichkeit 363 Wahrscheinlichkeitsnotation 363 Totale Wahrscheinlichkeit 365 Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 365 Wahrscheinlichkeiten des Durchschnitts 366 Komplementäre Wahrscheinlichkeit 366 Bedingte Wahrscheinlichkeit 366 Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 367 Die Komplementärregel 368 Die Multiplikationsregel 369 Die Additionsregel 370 Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse 371 Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen 371 Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen 372 Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen 373 Einander ausschließende Ereignisse erkennen 373 Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen 374 Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden 375 Ein Vergleich von unabhängig und einander ausschließend 375 Unabhängigkeit beziehungsweise einander Ausschließen in einem Kartenspiel prüfen 376 Nützliche Zählregeln und Kombinatorik 377 Urnen und Kugeln 377 Ziehung mit Berücksichtigung der Reihenfolge 378 Ziehung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 379 Abschließende Betrachtungen 379 Teil VI Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 383 Kapitel 16 Wahrscheinlichkeiten darstellen: Venn-Diagramme und der Satz von Bayes 385 Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen darstellen 385 Mit Venn-Diagrammen Wahrscheinlichkeiten ermitteln 386 Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und darstellen 387 Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen 388 Die Grenzen von Venn-Diagrammen 389 Wahrscheinlichkeiten in komplexen Aufgaben mit Venn-Diagrammen ermitteln 390 Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 393 Mehrstufige Ergebnisse mit einem Baumdiagramm darstellen 394 Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm darstellen 396 Die Grenzen der Baumdiagramme 399 Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse ermitteln 399 Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes 401 Eine totale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 402 Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes berechnen 406 Kapitel 17 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 413 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 413 Was ist eine Zufallsvariable? 413 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 415 Die Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden 420 Die Verteilungsfunktion interpretieren 421 Die Verteilungsfunktion grafisch darstellen 421 Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungsfunktion ermitteln 423 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der Verteilungsfunktion herleiten 424 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 426 Den Erwartungswert von X berechnen 426 Die Varianz von X berechnen 428 Die Standardabweichung von X berechnen 429 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 430 Kapitel 18 Die wunderbare Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 431 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 431 Diskrete Gleichverteilung 431 Binomialverteilung 433 Poissonverteilung 438 Geometrische Verteilung 443 Hypergeometrische Verteilung 445 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 450 Stetige Gleichverteilung 451 Normalverteilung 452 Exponentialverteilung 461 Teil VII Der Top-Ten-Teil 465 Kapitel 19 Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-) Alltag 467 Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss 467 Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 467 Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden 468 Nicht glauben, dass 10-22-34-42-47-48 gewinnen kann 468 An Glücksträhnen beim Würfeln glauben 468 Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 469 Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 469 Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 469 Die Voraussetzungen für ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht richtig prüfen 470 Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen 470 Kapitel 20 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471 Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 471 Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 471 Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472 Schauen Sie auch in die Bücher 472 Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 472 Gruppenarbeit nicht ausnutzen 472 Lernen Sie nicht nur für die Klausur 473 Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 473 Aus Fehlern lernen 473 Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474 Anhang 475 Stichwortverzeichnis 485

About the Author :
Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Rat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn, interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik zu überzeugen. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam.