Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra: (Wiley Schnellkurs)

Sie ist nicht beliebt und manchmal schwer zu verstehen: die Lineare Algebra. Aber keine Sorge: Thoralf Räsch hat ein kompaktes und verständliches Buch geschrieben, das Ihnen hilft, die Grundlagen der Linearen Algebra zu verstehen. Er erklärt Ihnen, was Sie über die algebraischen Grundlagen, Vektorräume, Lineare Gleichungssysteme und Matrizen wissen sollten. Auch die komplexen Zahlen kommen nicht zu kurz. Übungsaufgaben und Lösungen helfen Ihnen, Ihr Wissen zu festigen und zu überprüfen. So hilft Ihnen dieses Buch beim Grundverständnis der Linearen Algebra, wenn es einmal schnell gehen soll.

Table of Contents:
Einstiegstest 1 Über den Autor 9 Danksagung 9 Inhaltsverzeichnis 11 Einleitung 17 Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten 17 Meine Leser 17 Ziel des Buches 18 Nötiges Vorwissen 19 Jenseits dieses Buches 19 Was bedeutet was 19 Nur Mut zum Stolpern 20 1 Algebraische Grundlagen der Zahlensysteme 23 Mathematik und die natürlichen Zahlen 23 Eigenschaften der Grundrechenarten 26 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 27 Mathematiker und ihre Konstruktion der ganzen Zahlen 29 Aufgaben mit Klammern richtig lösen 30 Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 30 Mathematiker und ihre Definition der rationalen Zahlen 32 Rationale Zahlen und Dezimalbrüche 33 Und plötzlich wird's irrational … und doch real! 35 Mathematiker und die Konstruktion der reellen Zahlen 36 Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 37 Das Summenzeichen 38 Notwendige und hinreichende Bedingungen 39 Grundlegende Begriffe über allgemeine Funktionen 40 2 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken 45 Alles über Mengen 45 Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 47 Von Zahlen, Mengen und Intervallen 49 Mit Mengen einfach rechnen können 49 Mengengleichheit 50 Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 50 Mengendifferenz und Komplementbildung 51 Kreuzprodukt von Mengen 52 Venn-Diagramme 53 Logische Verküpfungen kompetent anwenden können 55 Wahre und falsche Aussagen 56 Aussagen verknüpfen 56 Die Mathematik als Sprache erkennen 58 Terme als Worte im mathematischen Satz 59 Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 59 Mit Quantoren neue Formeln bilden 61 Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 63 Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 65 Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 66 Methode 1: Direkter Beweis 67 Methode 2: Indirekter Beweis 67 Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 69 Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 70 3 Lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt analysieren 75 Gleichungen in verschiedenen Formen und Größen 75 Lineare Gleichungen in einer Unbekannten 76 Quadratische Gleichungen in einer Unbekannten 77 Lineare Gleichungssysteme unter die Lupe genommen 78 Gleichungssyteme in Diagonalgestalt 80 Die nützliche Zeilenstufenform 81 Der legendäre Gauß-Algorithmus 83 4 Vektorräume – mehr als eine Welt der Pfeile 89 Der Raum Kn 89 Praxisbeispiel: Kräfte an einem Ausleger berechnen 95 Schöne Teilmengen: Untervektorräume 97 5 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105 Punkte im Raum 105 Parametergleichung für Geraden 107 Zweipunktegleichung für Geraden 108 Parametergleichung für Ebenen 110 Dreipunktegleichung für Ebenen 111 Koordinatengleichung für Ebenen 112 Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 112 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 115 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 115 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 118 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene 121 Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 124 6 Rechnen in Gruppen, Ringen und Körpern 129 Grundlegende Strukturen: Gruppen 132 In Ringen mit zwei Operationen rechnen 134 Teilbarkeit und das Rechnen mit Restklassen 138 Rechnen mit Restklassen im Alltag 143 7 Keine Angst vor komplexen Zahlen 147 Definition der komplexen Zahlen 147 Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren 149 Division komplexer Zahlen in der Praxis 149 Komplexe quadratische Gleichungen 151 Komplexe Zahlen als reelle Ebene 152 Komplexe Zahlen als Polarkoordinaten 154 Kurzer Ausblick auf die Anwendungen dieser Zahlen 158 Jenseits der komplexen Zahlen: Quaternionen und Oktonionen 158 8 Überlebenstechniken in Vektorräumen 161 Linearkombination und lineare Hüllen 161 Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme 165 Vektorräume und ihre Basen 168 Drei Existenzsätze für Basen 170 Dimension eines Vektorraums 174 9 Lineare Abbildungen tiefgründig verstehen lernen 181 Grundlagen linearer Abbildungen 181 Kerne und Bilder von linearen Abbildungen 186 Homomorphismen über Homomorphismen 190 Endliche Beschreibung von Homomorphismen 193 Klassifikation endlich-dimensionaler Vektorräume 195 Der Dimensionssatz 197 Eigenschaften injektiver linearer Abbildungen 200 10 Die Welt der Matrizen 203 Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen 203 Matrizenaddition und -skalarmultiplikation 207 Matrizenmultiplikation leicht gemacht 210 Inverse Matrizen verstehen 215 Matrizen als lineare Abbildungen auffassen 218 11 Praktische Anwendungen von Matrizen 221 Matrizen als Drehungen in der reellen Ebene 221 Matrizen als Spiegelungen in der reellen Ebene 225 Überführungsmatrizen in Produktionsprozessen 228 Elementare Zeilenumformungen als Matrizen 230 Matrizen als elementare Umformung: Vertauschen von zwei Zeilen 230 Matrizen als Elementare Umformung: Skalarmultiplikation einer Zeile 232 Matrizen als Elementare Umformung: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen 233 12 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen 237 Koeffizientenmatrizen und ihre Eigenschaften 237 Geometrie der Lösungsmengen 239 Unterräume als Lösungsmengen 241 Praktisches Invertieren von Matrizen mit dem Gaußschen Algorithmus 243 Ausblick jenseits dieses Buches 247 13 Lösungen zu den Aufgaben 249 Glossar 261 Index 265

About the Author :
Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies", "Mathematik der Physik für Dummies" und "Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies".